Vispirms apskatīsim stabilitātes nepieciešamo nosacījumu. Pieņemsim, ka slēgtas sistēmas raksturīgais vienādojums D(λ)=0 izvērstā veidā ir
a0 λ n + a1 λ n-1 +an=0 (1)
Pierādīsim, ka stabilitātes nepieciešamais nosacījums ir, lai visi raksturīgā vienādojums koeficienti būtu pozitīvi, tas ir:
a1>0, a2>0, ... , an-1>0, an>0, ja a0>0
Tam nolūkam vienādojums (1) kreiso pusi sadalīsim reizinātājos:
a0(λ- λ1) (λ- λ2) ... (λ- λn)=0, ja a0>0
Pieņemsim, ka visas saknes ir ar negatīvām reālām daļām
λ1=-|α1|, λ2,3=-| α1| ±jω, ... , λn=-| αn|
Ievietojot tās vienādojumā, iegūsim
a0(λ+|α1|)(λ+|α2|-jω2)( λ+|α2|+jω2) ... (λ+|αn|)=0
Tā kā vidējie divi reizinātāji ir vienādi ar
[(λ+|α2|)2+ω2]
tad redzams, ka sareizinot visas iekavas iegūsim tikai pozitīvus vienādojuma koeficientus.
Hurvica kritērija būtība ir sēkojoša: no pētāmā raksturīgā vienādojuma koeficientiem sastāda determinantu (Hurvica determinantu ∆n); pa galveno diagonāli raksta raksturīgā vienādojums koeficientus sakot ar a1 (polinoma n-1 kārta) līdz an; zem galvenās diagonāles elementiem raksta koeficientus indeksa samazināšanās virzienā; virs galvenās diagonāles raksta koeficientus indeksa pieaugšanas kārtībā; trūkstošo koeficientu vietās liek nulles.
Pēdējais Hurvica determinants , kā redzams no (2) ir
∆n=∆n-1 an
tas būs pozitīvs , ja ∆n-1>0, an>0
Pirmās un otrās kārtas sistēmām Hurvica stabilitātes kritērijs reducējās uz prasību, lai koeficienti a0, a1, a2 būtu lielāki par nulli. Trešās kārtas sistēmas raksturīgais vienādojums ir:
a0λ3 + a1λ2 + a2λ +a3 = 0
bet stabilitātes nosacījumi būs
∆n-1=∆2=a1a2-a0a3 > 0
Ja n≥5 stabilitātes nosacījumi kļūst sarežģītāki, tādēļ Hurvica kritēriju racionāli pielietot sistēmām, ja n≤4.
Mihailova kritērijs pēc būtības ir argumenta pieauguma principa ģeometriskā interpretacija. Dots slēgtas sistēmas raksturīgais vienādojums
D(λ)=a0 λ n + a1 λ n-1 +an=0 (1)
Lai sistēma būtu stabila, nepieciešams, lai visas raksturīgā vienādojuma saknes atrastos kreisajā pusplaknē, tas ir l=0. Šai gadījumā, atbilstoši vienādojumam
∆arg D(j ω)=π(m-l)=(n-2l) π
jāizpildās nosacījumam
∆arg D(j ω)=n π (2)
Vektora D(jω) galapunkta ģeometrisko vietu frekvencei mainoties no līdz sauc par Mihailova hodogrāfu. Atbilstoši vienādojumam (1), iegūsim
D(jω)=a0(jω)n+a1(jω)n-1+...+an= α(ω)+jβ (ω), kur
α (ω)=an-an-2 ω2+an-4 ω4-...
β(ω)=an-1ω-an-3ω3+an-5ω5-...…
