1. KOMBINATORIKAS REIZINĀŠANAS LIKUMS
Aplūkosim šādus piemērus:
1. piemērs.
Deju pulciņā jāizvēlas solistu pāris. Labākie dejotāji ir Jānis, Pēteris, Aivars, Māris, Kaspars, Liena, Elīna, Vineta un Baiba. Cik dažādos veidos var izvēlēties vienu zēnu un vienu meiteni solo numura izpildei?
Atrisinājums.
Izvietosim tabulas horizontālajā ailē 5 zēnu vārdus un vertikālajā ailē 4 meiteņu vārdus (skat. zīm. ).
No tabulas redzam, ka Jānim pārī var noteikt vienu no četrām meitenēm, arī Pēterim pārī var noteikt vienu no četrām meitenēm utt. Viegli pārliecināties, ka dažādo pāru skaits vienāds ar tabulas rūtiņu skaitu, tas ir = 20.
Aplūkosim vēl vienu šā uzdevuma atrisinājumu shēmas veidā (skat. zīm.): attēlosim izvēles nogriežņu veidā.
Šāda uzdevuma atrisinājuma shēma pārliecina, ka dažādo pāru skaits ir =20.
Dažādo apģērba komplektu skaits atbilst paralēlskaldņa vienības kubiņu skaitam, bet to ir
.
Atbilde.
Dažādo apģērbu komplektu skaits ir 18.
3. piemērs.
Dziesmu konkursam iesniedza 5 dziesmas, no kurām 4 labākās saņems no 1. līdz 4. prēmijai. Cik veidos šīs dziesmas var iegūt pirmās četras godalgas?
Atrisinājums.
Pirmo vietu var iegūt jebkura no 5 dziesmām. Atlikušās godalgas var savā starpā dalīt tikai 4 dziesmas (viena jau būs 1. vietā). Ja otro vietu var iegūt jebkura no 4 atlikušām dziesmām, tad trešo godalgu savā starpā var sadalīt 3 dziesmas (divas ir prēmētas - 1. un 2. godalga). Ceturto godalgu savā starpā var sadalīt kāda no 2 dziesmām. Dažādu veidu skaits, kā 5 dziesmas savā starpā var sadalīt 4 godalgas, ir 5 × 4 × 3 × 2 =120.
4. piemērs.
Dota izteiksme (x - a) (x -b) (x - c) (x - d) (a; b; c; d dažādi skaitļi). Cik dažādi gadījumi jāaplūko, lai noteiktu izteiksmes zīmi, ja x nesakrīt ne ar vienu no skaitļiem a, b, c, d ?
Atrisinājums.
Reizinātājs x - a var būt pozitīvs vai negatīvs (2 iespējas), neatkarīgi no reizinātāja x - a zīmes reizinātājs x - b var būt pozitīvs vai negatīvs (2 iespējas), neatkarīgi no iepriekšējiem reizinātājs (x - c) var būt pozitīvs vai negatīvs (2 iespējas), arī pēdējais reizinātājs - (x - d) neatkarīgi no iepriekšējiem, var būt pozitīvs vai negatīvs (2 iespējas). Pavisam jāaplūko dažādi gadījumi, kas nosaka reizinājuma zīmi.
Aplūkosim šī uzdevuma atrisinājumu shēmas veidā:
Atbilde.
Lai noteiktu izteiksmes zīmi, jāaplūko 16 gadījumi.
Teorēma
Ja objektu A1 var izvēlēties k1 veidos un katram A1 izvēles veidam objektu A2 var izvēlēties k2 veidos, un katram A1 un A2 izvēles veidam objektu A 3 var izvēlēties k3 veidos utt., līdz objekta A m izvēlei km veidos, tad objektu ‘’A1 un A2, un A3,un ... Am ‘’ var izvēlēties veidos.
Piebilde.
Kombinatorikā reizēm ir izdevīgi doto uzdevumu aizstāt ar citu uzdevumu, kurš izsaka to pašu būtību. Šādus uzdevumus sauksim par ”modeli’’.
4. piemēram var izdomāt citu uzdevumu, kura saturs izsaka to pašu būtību. Iedomāsimies, ka katrs reizinātājs ir viena aiz otra fiksētas spuldzītes, kuras var būt iedegtas vai izslēgtas. Atbildot uz jautājumu, cik dažādus signālus var veidot šādu 4 spuldzīšu ķēde (”+” spuldzīte deg; ”-” spuldzīte nedeg), iegūstam iepriekšējā uzdevuma atrisinājumu.
5. piemērs
Izmeklētājs nopratina četrus lieciniekus, uzdodot visiem vienu un to pašu jautājumu. Katram lieciniekam ir iespējams atbildēt ar ‘‘jā’’ vai ‘’nē’’. Cik dažādu atbilžu komplektu (komplekts satur visu liecinieku atbildes noteiktā secībā, atbildētāju secība nemainās) izmeklētājs var iegūt?
5. piemēra atrisinājumam aplūkojam šādu ”modeli ”:
Iedomāsim katru liecinieku kā ‘’spuldzīti’’, atbilde ” jā ” nozīmētu, ka spuldzīte deg, atbilde ”nē” - spuldzīte nedeg. Cik dažādus signālus var veidot četru spuldzīšu ķēde? Acīmredzot, 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Cits ‘’modelis’’ 5. piemēram:
Aplūkojam izteiksmi:
Starp skaitļiem tukšajās vietās var likt zīmi ” + ” vai ” – ”. Cik dažādu izteiksmes vērtību var iegūt?
Piebilde.
Viens no kombinatorikas uzdevumu risināšanas paņēmieniem ir sastādīt dotajam uzdevumam modeli un to atrisināt.
…
