Eilera metodes pielietošana uzdevumā / ID: 319309

Autors: Lilita (203)

Vērtējums:

Publicēts: 24.09.2009.

Valoda: Latviešu

Līmenis: Augstskolas

Literatūras saraksts: Nav

Atsauces: Nav

Izvērst priekšskatu

SatursAizvērt

Nr.	Sadaļas nosaukums	Lpp.
1.	Uzdevums	2
2.	Teorētiskais pamatojums	2
2.1.	Eilera metode	2
2.1.1.	Eilera metodes stabilitāte	3
2.1.2.	Eilera metodes aproksimācija	3
2.1.3.	Eilera metodes konverģence	5
2.2.	Uzlabotā Eilera metode (Eilera-Koši)	5
2.2.1.	Uzlabotās Eilera metodes stabilitāte	6
2.2.2.	Uzlabotās Eilera metodes aproksimācija	6
2.2.3.	Uzlabotās Eilera metodes konverģence	7
2.3.	Runges-Kutta 4. kārtas metode	7
2.4.	Atrisinājumu superpozīcijas metode	9
2.5.	Robežproblēmas aproksimācija ar diferenču shēmām	10
2.6.	Režģa (integro-interpolācijas) metode	11
3.	Praktiskā daļa	13
3.1.	Košī problēmas analitiskais atrisinājums	13
3.2.	Košī problēmas atrisināšana ar vienkāršo Eilera metodi	15
3.3.	Košī problēmas atrisināšana ar uzlaboto Eilera metodi	15
3.4.	Košī problēmas atrisināšana ar Runges-Kutta 4. kārtas metodi	15
3.5.	Robežproblēmas atrisināšana ar superpozīcijas metodi	16
3.6.	Robežproblēmas atrisināšana ar režģa (integro-interpolācijas) metodi	16

Darba fragmentsAizvērt

Uzdevums.
Dota diferenciālvienādojumu sistēma ar sākumnosacījumiem:
1.1 Atrisināt šo sistēmu analitiski un ar vismaz divām skaitliskām metodēm atrast x(1) un y(1).
1.2 Atrisināt robežproblēmu šai diferenciālvienādojumu sistēmai, ņemot x(0)=0 un x(1)=? - no (1.1); ieteicams iepriekš pāriet uz vienu otrās kārtas duferenciālvienādojumu.
Teorētiskais pamatojums.
Risinot uzdevumu tika izmantotas šādas metodes un teorētiskie rezultāti:
Eilera metode.
Ir dota Košī problēma
Šeit x, x0, f ir vektori un pie tam tiek izdarīta diskretizācija laikā: tn={n*h: n=0,1,2,...,k} un h>0 ir solis. Šinī gadījumā vienkārša Eilera metode ir pierakstama šādi:
Eilera metodes konverģence.
3. Definīcija. Saka, ka diferenču shēmas diskrētais atrisinājums konverģē uz nepārtraukto DV sistēmas atrisinājumu, ja lokālā aproksimācijas kļūda apmierina sakarību
un K>0 sauc par konverģences kārtu (ātrumu).
4. Definīcija. Košī problēmu [2] sauc par korekti nostādītu, ja funkcija f=f(t, x) ir nepārtraukta un ierobežota apgabalā D un ja šajā apgabalā tā apmierina Lipšica nosacījumu
Pie tam šinī gadījumā pēc Pikara teorēmas dotajai Košī problēmai eksistē tikai viens atrisinājums x=x(t), kurš definēts punkta t=0 apkārtnē.
Pēc Laksa teorēmas korekti nostādītai lineārai Košī problēmai no stabilitātes (sk. 2.2) un aproksimācijas (sk. 2.3) seko konverģence. Nelineārais (vispārīgais) gadījums šeit netiks aplūkots, jo uzdevumā [1] ir lineārā Košī problēma.…